Ici, on considère des ondesse propageant dans le vide.

Définition

\(\triangleright\) Définition des ondes électromagnétiques

Les ondes électrogmagnétiques sont définies par l'équation suivante:
$${{\Delta \vec E-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}=0}}$$
Ces ondes se deplacent à la vitesse de la lumière \(c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0} }\)

Trouver une équation d'onde à partir des équations de Maxwell

Comme nous sommes dans le vide, on a:
- \(\vec D=\epsilon_0 \vec E\) (Induction électrique)
- \(\vec H=\mu_0\vec H\) (Induction magnétique)

De plus, dans le vide, il n'y a pas de courant (\(\rho=0\) et \(\vec j=0\))

Par conséquent, les Equations de Maxwell deviennent:

- \(\vec{rot}(\vec E)=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}\)
- \(div(\vec E)=0\)
- \(\vec{rot}(\vec B)=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t}\)
- \(div(\vec B)=0\)

On cherche maintenant une équation d'onde du type de l'Equation d’Alembert:

$$\vec{rot}(\vec{rot}(\vec E))=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}$$
$$\vec{grad}(div(\vec E))-\Delta\vec E-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}=0$$
Par identification:
$$\mu_0\epsilon_0=\frac{1}{v^2}\implies v=\frac 1{\sqrt{\mu_0\epsilon_0} }$$

Cette vitesse est enfaîte le vitesse de la lumière!

Ondes planes progressives

Parmis les équations de Maxwell on trouve des ondes du type Onde plane progressive:

\(\triangleright\) Ondes planes progressives électromagnétiques

Les ondes planes progressives électromagnétiques sont de la forme:
$$\vec E={{\vec E_0\mathcal{Re}(e^{i(\vec k.\vec r-\omega t)})}}$$
$$\vec B={{\frac{\vec k \wedge \vec E}{\omega} }}$$
Avec:
- \(\vec k\): le vecteur d'onde

On peut alors réécrire les équations de Maxwell:
- $$\vec k\wedge \vec E={{\omega \vec B}}$$
- $$\vec k. \vec E=0$$
- $$\vec j\wedge \vec B={{-\epsilon_0\mu_0\omega \vec E}}$$
- $$\vec k.\vec B=0$$

On voit également que: \(k^2=\vec k.\vec k=\epsilon_0\mu_0\omega^2\)
Alors la fréquence et le vecteur d'onde sont liés.

On détermine aussi une vitesse de phase: \(c=v_\phi=\frac{w}{k}\)

Propriétés

\(\triangleright\) Polarisation d'une onde électromagnétique

Le vecteur \(\vec E_0\) indique la Polarisation d’une onde de \(\vec E\).
Ici, cette polarisation est rectiligne.

\(\triangleright\) Périodicités d'une onde électromagnétique plane

Il y a deux périodicités:
- Temporelle: \(T={{\frac{2\pi}{\omega}=\frac 1\nu}}\)
- Spatiale: \(\lambda={{\frac{2\pi}{||\vec k||}=c.T}}\)
Avec:
- \(\vec k\): le vecteur d'onde
- \(\omega\): la pulsation
- \(\nu\): la fréquence
- \(c\): la célérité de l'onde

Vecteur de Poyting

L'étude des ondes électromagnétique introduit le vecteur \(\vec P\), appelé le Vecteur de Poyting

Energie de l'onde

\(\triangleright\) Energie d'une onde plane électromagnétique

$$\lt \vec P\gt ={{c.\lt w_e\gt _T\vec u}}$$
Avec:
- \(w_e\): Energie éléctrostatique

Le bilan de l'énergie électromagnétique peut s'écrire:
$$\frac{\partial w_{em} }{\partial t}=-\vec j.\vec E-div(\vec P)$$
$$w_{T,em}={{\iint -\vec j.\vec E - \iint \vec P.d\vec S}}$$
Avec:
- \(\iint \vec P.d\vec S\): l'energie rayonnée
- \(-\iint \vec j.\vec E\): l'enrgie dissipé par effet Joule

\(\triangleright\) Propriété caractéristique d'une onde électromagnétique

$${{\mu_0\epsilon_0c^2}}={{1}}$$